پيامبر اكرم (ص)
 |
 |
اما این فرمول از کجا آمده؟ بگذارید پیدا کنیم.
کاری که می خواهیم انجام دهیم شکستن دایره به قسمتهای مساوی و بازآرائی آن به شکل مستطیل می باشد که مساحت آن را می دانیم.
ممکن است شما باور نکنید که می شود قطعات یک دایره را به مستطیل تبدیل کرد.
خوب، فقط نگاه کنید ... آسان است.
با دایره ای که می خواهیم بشکنیم شروع می کنیم.
حالا دایره را به چهار قسمت مساوی تقسیم می کنیم.
 |
|
|
|
حالا آنها را طوری کنار هم می گذاریم تا یک مستطیل ایجاد شود.
دقیقاً یک مستطیل نیست، هست؟
اما کار ما هنوز تمام نشده، بگذارید دایره را به هشت قسمت مساوی تقسیم کنیم.
 |
|
|
|
| |
|
|
|
آنها را به شکل مستطیل مرتب می کنیم.
مطمئناً شروع کرده که شبیه یک مستطیل بشود، اما هنوز تا آنجا فاصله داریم.
قدم بعدی این است که به عقب برگردیم و دایره را به شانزده قسمت مساوی تقسیم کنیم.
قطعات اینجا هستند.
 |
|
|
|
| |
|
|
|
| |
|
|
|
| |
|
|
|
این دفعه وقتی آنها را کنار هم قرار می دهیم. خیلی بیشتر مثل مستطیل به نظر می رسند، ببینید.
هدف ایجاد شکلی است که تا حد ممکن به مستطیل نزدیک باشد.
تا بتوانیم مساحت آن را با استفاده از فرمول مستطیل محاسبه کنیم.
عرض × طول = مساحت
اما این شکل اضلاع صاف ندارد، بنابراین فرمول حیلی دقیق نمی باشد.
بگذارید یک قدم جلوتر برویم و دایره راه به گروهی خرده های کوچک تقسیم کنیم. وقتی تمام قطعات را کنار هم قرار می دهیم، شکل مانند زیر به نظر می رسد.
این خیلی شبیه یک مستطیل کامل است. اما می توانید ببینید که بالا و پائین هنوز کاملاً صاف نیستند. آنها کمی دست انداز دارند.
می توانید تصور کنید که اگر باز هم به کارمان ادامه بدهیم چه اتفاقی خواهد افتاد؟ اگر به شکستن دایره به قطعات کوچکتر و کوچکتر ادامه دهیم؟
دست آخر، دست اندازها آنقدر کوچک می شوند که نمی توانیم آنها را ببینیم، و بالا و پائین شکل کاملاً مستقیم به نظر خواهند رسید. این چیزی است که خواهیم دید.
یک مستطیل کامل. حالا تمام کاری که باید انجام دهیم پیدا کردن مساحت مستطیل با استفاده از فرمول عرض × طول = مساحت می باشد.
سوال بعدی این است که، طول و عرض مستطیلی که از قطعات دایره ایجاد شده چه اندازه ای دارند؟
اجازه بدهید به عقب برگردیم، تا شما قطعات دایره را واضحتر ببینید.
طول بیرونی دایره اصلی، مسافت پیرامون دایره، یا محیط دایره می باشد.
نصف این مسافت پیرامون، در بالای مستطیل و نصف دیگر آن در پایین قرار می گیرد.
به عبارت دیگر، تمام تکه های آبی و قرمز برابر محیط دایره می باشند.
کناره های مستطیل درست شعاع هر قطعه یا شعاع دایره می باشند.
حالا می توانیم مساحت شکل را با فرمول مستطیل محاسبه کنیم.
... و در اینجا ما فرمول مساحت دایره ای را که با آن شروع کردیم، داریم.
بودجه بندي سالانه كتاب رياضي پايه سوم دورهي راهنمايي
|
ماه |
هفته |
صفحات |
محتوا |
|
مهر |
اول |
1-9 |
یاداوری - اعداد طبيعي- اعداد اول و مركب- چگونگي تعيين اعداد اول- حل مسئله |
|
دوم |
10-15 |
توان- جذر | |
|
سوم |
16-21 |
جذر اعداد اعشاري- امتحان جذر- مجموعه هاي اعداد- اعداد طبيعي- اعداد صحيح- قرينه ها | |
|
چهارم |
22-27 |
جمع اعداد صحيح- تفريق اعداد صحيح | |
|
آبان |
اول |
28-33 |
مجموعهي اعداد گويا- تساوي كسرها- حمع و تفريق اعداد گويا |
|
دوم |
34-38 |
ضرب و تقسيم اعداد گويا- بردار- مشخص كردن نقطه در صفحه- بردار انتقال- مختصات بردار انتقال | |
|
سوم |
39-45 |
تساوي بردارها- جمع بردارهاي هم مبدأ و... ضرب يك عدد در بردار | |
|
چهارم |
46-51 |
بردار هاي واحد مختصات- عبارتهاي جبري | |
|
آذر |
اول |
52-57 |
پيدا كردن مقدار عددي يك عبارت جبري- ساده كردن يك عبارت جبري- توزيع پذيري ضرب نسبت به جمع و تفريق |
|
دوم |
58-65 |
معادله- روش حل معادله- راهبرد تشكيل معادله- حل معادلات كسري | |
|
سوم |
66-71 |
دايره- وضعيت نقطه و دايره- وضعيت خط و دايره نسبت به هم- زاويهي مركزي | |
|
چهارم |
72-76 |
زاويهي مخاطي- تقسيم دايره به كمانهاي مساوي- چند ضلعي هاي منتظم | |
|
دي |
اول |
77-83 |
پيدا كردن رابطهي فيثاغورث- استفاده از رابطهي فيثاغورث |
|
دوم |
84-89 |
دوران- مجموعهي دورانهاي يك شكل | |
|
سوم |
------- |
تمرين دورهاي 1 | |
|
چهارم |
------- |
آزمون نوبت اول | |
|
بهمن |
اول |
94-98 |
مجموعه اعداد حقيقي |
|
دوم |
99-103 |
آمار- ميانگين | |
|
سوم |
104-110 |
معادله خط 1- رسم خطي كه معادلهي آن داده شده است، نمودار مجموعهاي از نقاط صفحه | |
|
چهارم |
111-116 |
معادله خط 2( خطهاي غير مبدأ گذر) – شيب خط | |
|
اسفند |
اول |
117-120 |
صورت ديگرمعادله خط- خطهاي موازي با محورها |
|
دوم |
121-126 |
دستگاه معادله هاي خطي- راهبرد تشكيل معادله( دستگاه معادلات) | |
|
سوم |
127-131 |
خطوط موازي متساوي الفاصله- تقسيم پاره خط به قطعات مساوي- قضيهي تالس | |
|
چهارم |
132-134 |
عكس، قضيهي تالس- نتيجهي رابطهي تالس | |
|
فروردين |
اول |
------- |
----------------------------------------------- |
|
دوم |
------- |
----------------------------------------------- | |
|
سوم |
135-139 |
تشابه( شكلهاي متشابه) | |
|
چهارم |
140-144 |
تشابه دو مثلث | |
|
ارديبهشت |
اول |
145-147 |
حجم هرم- حجم مخروط |
|
دوم |
148-150 |
حجم كره | |
|
سوم |
151-155 |
حل تمرينهاي دوره اي | |
|
چهارم |
------- |
مرور مطالب | |
|
خرداد |
اول |
------- |
آزمون نوبت دوم |
|
دوم |
------- |
آزمون نوبت دوم | |
|
سوم |
------- |
آزمون نوبت دوم | |
|
چهارم |
------- |
آزمون نوبت دوم |
بودجه بندي سالانه كتاب رياضي پايه دوم دورهي راهنمايي
|
ماه |
هفته |
صفحات |
محتوا |
|
مهر |
اول |
1-6 |
یاداوری - معرفي مجموعه- قرار دادها و نمادها- زير مجموعه |
|
دوم |
7-13 |
ادامهي زير مجموعه- رسم شكل- عدد صحيح( يادآوري)- بردار صحيح | |
|
سوم |
14-19 |
قرينهي يك عدد صحيح- جمع عددهاي صحيح- مختصر نويسي- جمع دو عدد | |
|
چهارم |
20-27 |
جمع دو عدد( ادامه)-- قرينهي مجموعه تفريق عددهاي صحيح | |
|
آبان |
اول |
29-40 |
ضرب عددهاي صحيح- راهبرد جدول نظام دار- تقسيم عددهاي صحيح- رسم 1 |
|
دوم |
41-44 |
توان( يادآوري)، ضرب و تقسيم عددهاي توان دار با پايه هاي مساوي | |
|
سوم |
45-50 |
ضرب و تقسيم عددهاي توان دار با توان مساوي – شمارش | |
|
چهارم |
51-57 |
تبديل مبنا- راهبرد الگو يابي- كاربرد مبناها | |
|
آذر |
اول |
58-61 |
رسم2- مفهوم جذر- جذر حاصل ضرب و حاصل تقسيم- عددهاي منفي جذر ندارند. |
|
دوم |
62-70 |
محاسبهي جذر تقريبي- راهبرد حذف حالت هاي نامطلوب | |
|
سوم |
72-79 |
مثلث قائم الزاويه | |
|
چهارم |
80-92 |
توازي- راهبرد زير مسئله- رسم 3 | |
|
دي |
اول |
93-98 |
زاويه و مثلث – راهبرد حل مسئلهي ساده تر |
|
دوم |
99-104 |
چهار ضلعي ها | |
|
سوم |
105-112 |
ادامهي چهار ضلعي ها- رسم4 -تمرين دورهاي 1 | |
|
چهارم |
------- |
امتحانات نوبت اول | |
|
بهمن |
اول |
113-118 |
معرفي عدد گويا |
|
دوم |
119-126 |
جمع عددهاي گويا- تفريق عددهاي گويا | |
|
سوم |
127-133 |
ضرب و تقسيم عددهاي گويا- رسم 5 | |
|
چهارم |
134-141 |
عبارت هاي جبري | |
|
اسفند |
اول |
141-146 |
عبارت هاي جبري- معادله |
|
دوم |
146-153 |
ادامهي معادله- راهبرد تشكيل معادله | |
|
سوم |
155-162 |
رسم 6- مختصات | |
|
چهارم |
163-170 |
ادامهي درس مختصات- راهبرد حدس و آزمايش | |
|
فروردين |
اول |
------- |
----------------------------------------------- |
|
دوم |
------- |
----------------------------------------------- | |
|
سوم |
171-177 |
مفهوم مساحت- مساحت شكل هاي هندسي | |
|
چهارم |
177-180 |
مساحت دايره | |
|
ارديبهشت |
اول |
181-184 |
تقارن محوري- تقارن مركزي |
|
دوم |
184-189 |
تقارن ( ادامه) – رسم 7- واحد حجم | |
|
سوم |
189-195 |
محاسبهي حجم هاي منشوري- منشور | |
|
چهارم |
196-205 |
حل كردن تمرينات درس حجم- تمرين دورهاي 2 | |
|
خرداد |
اول |
------- |
امتحانات نوبت دوم |
|
دوم |
------- |
امتحانات نوبت دوم | |
|
سوم |
------- |
امتحانات نوبت دوم | |
|
چهارم |
------- |
امتحانات نوبت دوم |
سوال ویژه درس حجم دوم راهنمایی
اگر مساحت جانبی یک مکعب را 9 برابرکنیم، حجم آن چند برابر می شود؟
|
د) 81 برابر |
ج) 27 برابر |
ب) 9 برابر |
الف) 3 برابر |
اگرطول و عرض یک مکعب مستطیل را دو برابر و ارتفاع آن را سه برابر کنیم مساحت جانبی آن چند برابر می شود؟
|
د) 6 برابر |
ج) 4 برابر |
ب) 3 برابر |
الف) 2 برابر |
شعاع قاعده ی یک استوانه را 5 برابر و ارتفاع آنرا 2 برابر می کنیم . حجم استوانه چند برابر می شود ؟
|
د) 100 برابر |
ج) 50 برابر |
ب) 25 برابر |
الف) 10 برابر |
مساحت جانبی یک استوانه که ارتفاعش 9 و قطر قاعده اش 4 سانتیمتر می باشد برابر مساحت یک دایره است شعاع دایره چقدر است ؟
|
د) 7 |
ج) 6 |
ب) 5 |
الف) 3 |
مکعب مستطیلی به ابعاد a و ۲a و ۳a مفروض است . اگر حجم آن 48 سانتیمتر مکعب باشد ، مقدار a چقدر است؟
|
د) 3 |
ج)۴ |
ب) 2 |
الف) 1 |
نکات ویژه حجم دوم راهنمایی
۱- حجم مکعبی به ضلع a برابر است با a3 .
2- مساحت جانبی مکعبی به ضلع a برابر است با 4a2
3- مساحت کل مکعبی به ضلع a برابر است با 6a2
4- اگر ضلع مکعبی را m برابر کنیم حجم آن 3 m برابر و مساحت جانبی و مساحت کل آن 2 m برابر می شود.
5 - حجم منشور برابر است با حاصل ضرب مساحت قاعده در ارتفاع
6- مساحت جانبی منشور برابر است با محیط قاعده در ارتفاع
7- مساحت کل منشور برابر است با مساحت جانبی به اضافه ی مساحت دو قاعده
مثال۱ : حجم مکعبی به ضلع a برابرa3 است . اگر ضلع مکعب را 4 برابر کنیم حجم و مساحت جانبی آن چند برابر می شوند؟
حل:
|
|
حجم 64برابر می شود 43 =64 |
|
|
مساحت جانبی 16برابر می شود 42=16 |
مثال ۲ : قاعده ی یک منشور سه پهلو مثلث قائم الزاویه است. که ضلعهای آن 3 و 4 و 5 سانتیمتر است. اگر ارتفاع منشور 10cm باشد ، حجم ، مساحت جانبی و مساحت کل منشور را حساب کنید؟
حل:
|
|
|
|
12 = 5 + 4 + 3 = محیط قاعده | |
|
cm۳ (سانتیمتر مکعب ) 60 = ۶X۱۰ = حجم منشور | |
|
cm۳ (سانتیمتر مربع ) 120 =10X۱۲ = مساحت جانبی | |
|
cm۳ (سانتیمتر مربع ) 132 =(6 + 6) + 120 = مساحت کل |
حجم:(Volume)
حجم در لغت به معنی برآمدگی و ستبری و جسامت چیزی می باشد و در اصطلاح هندسه به معنی گنجایش و ظرفیت جسم و آن مقدار از فضا که جسم اشغال میکند می باشد .
واحد حجم اجسام :
حجم مکعبی به ضلع یک سانتی متر برابر یک سانتی متر مکعب است .
روش محاسبه حجم اجسام هندسی :
حجم هر یک از اجسام هندسی برابر است با : حاصلضرب مساحت قاعده در ارتفاع آن .
مثال : حجم جسم زیر را حساب کنید :
حل : مساحت مربع - مساحت مستطیل = مساحت قاعده
سانتیمتر مربع ۵=۱ - (۳X۲ ) = مساحت قاعده
ارتفاعX مساحت قاعده = حجم
(cm۳) (سانتیمتر مکعب) 50= 10X۵ = حجم
منشور: (prism)
منشور به معنی پراکنده، نشر شده، زنده شده، مبعوث است.
در اصطلاح هندسه نام شکلی است که دو قاعده دارد که دو چند ضلعی مساوی هستند و بدنه ی منشور (سطح جانبی منشور) از مستطیل ها یا متوازی الاضلاع ها تشکیل شده است.
|
|
ارتفاع × مساحت قاعده = حجم منشور
حجم سوم راهنمایی
حجم:(Volume)
حجم در لغت به معنی برآمدگی و ستبری و جسامت چیزی می باشد و در اصطلاح هندسه گنجایش و ظرفیت جسم و آن مقداری از فضا که جسم آن را اشغال می کند, را نشان می دهد.
منشور: (Prism)
منشور در لغت به معنی پراکنده, نشر شده, زنده شده و مبعوث است و در اصطلاح هندسه نام شکلی است که دو قاعده دارد که دو چند ضلعی مساوی هستند و بدنه منشور(سطح جانبی منشور ) از مستطیلها یا متوازی الاضلاع ها تشکیل شده است.
معرفی منشور 5 پهلو:
í نام شکل: منشور 5 پهلو
í یال های منشور: 'EE',DD',CC',BB',AA
í وجه منشور: هر کدام از مستطیل های جانبی را یک وجه منشور می نامند.
í ارتفاع منشور: از آنجا که هر کدام از یال ها بر دو قاعده منشور عمود می باشند, لذا ارتفاع منشور با اندازه هر یک از یال ها برابر است.
í قاعده ی منشور: منشور دو قاعده دارد. ABCDE و 'A'B'C'D'E که دو پنج ضلعی مساوی اند.
رابطه های مهم:
ارتفاع × مساحت قاعده = حجم منشور
ارتفاع × محیط قاعده = مساحت جانبی منشور
مساحت دو قاعده + مساحت جانبی = مساحت کل منشور
استوانه: (Cylinder)
نام شکلی است که دو قاعده دارد که دو دایره مساوی هستند و بر جانبی راست استوار است.
اگر مستطیل را حول طول آن دوران دهیم, شکل فضایی حاصل استوانه نامیده می شود. در این صورت طول مستطیل ارتفاع استوانه و عرض آن شعاع قاعده استوانه می باشد.
در شکل بالا مستطیل ABCD را حول طول آن دوران داده ایم و استوانه بوجود آمده است.
رابطه های مهم:
ارتفاع×مساحت قاعده(دایره) = حجم استوانه
ارتفاع×محیط قاعده(دایره) = مساحت جانبی استوانه
مساحت دو قاعده + مساحت جانبی = مساحت کل استوانه
هرم: (pyramid)
هرم در لغت به معنی سخت پیر گردیدن و کلان سال شدن است و در اصطلاح هندسه حجمی است که قاعده آن یک چند ضلعی و وجوه جانبی اش مثلثهایی باشند که همه به یک رأس مشترک(رأس هرم) منتهی می شوند.
معرفی هرم منتظم:
í نام شکل: هرم منتظم.
í رأس هرم: نقطه S
í ارتفاع هرم: پاره خطی است که از رأس هرم به مرکز قاعده ی هرم عمود است(SO)
í قاعده هرم: پنج ضلعی منتظم ABCDE
í سهم هرم: ارتفاع مثلث های جانبی, ارتفاع هر وجه جانبی هرم منتظم(SH).
í وجه هرم: هر یک از مثلث هایی که بدنه هرم را می پوشانند را یک وجه جانبی می نامیم.
í یال هرم: محل تقاطع هر دو وجه جانبی را یال هرم می نامیم. SE,SD,SC,SB,SA
رابطه های مهم:
مخروط : (cone)
مخروط به معنی خراشیده شده ، تراشیده شده و خراطی شده است ودر اصطلاح هندسه حجمی است که از دوران مثلث قائم الزاویه حول یک ضلع آن به دست می آید . کله قند و کلاه بوقی نمونه هایی به شکل مخروط هستند.
معرفی مخروط : 
í نام شکل : مخروط
í رأس :نقطه ی s
í ارتفاع :پاره خط SO ضلعی که مثلث قائم الزاویه را حول آن دوران داده ایم تا مخروط بوجود آید.
پاره خطی است که از رأس مخروط بر صفحه ی قاعده ی آن عمود است .
í قاعده ی مخروط : دایره c به مرکز O و شعاع oB را قاعده ی مخروط می نامیم.
í مولد مخروط :پاره خط SA یا SB ، وتر مثلث قائم الزاویه که مخروط را بوجود آورده است.
رابطه های مهم :
کره : (sphere)
کره به معنی گوی و آن چه که به شکل گوی باشد، است و در اصطلاح هندسه شکلی است که از دوران نیم دایره حول قطرش بوجود می آید . مانند توپ ، گوی چوگان
معرفی کره:
í مرکز کره :نقطه ی O
í شعاع کره :R (فاصله ی نقاط روی سطح کره از مرکز کره)
í دایره ی عظیمه :اگر یک کره را نصف کنیم، دایره ای که از نصف کردن کره بدست می آید،
دایره عظیمه نام دارد .
رابطه های مهم :
بودجه بندي سالانه كتاب رياضي پايه اول دورهي راهنمايي
|
ماه |
هفته |
صفحات |
محتوا |
|
مهر |
اول |
1-7 |
يادآوري – آموزش راهبرد رسم شكل |
|
دوم |
8-22 |
آموزش راهبرد زير مسئله- مقسوم عليه- عدد اول- نمودار مقسوم عليه ها- ب.م.م | |
|
سوم |
23-30 |
ادامهي درس مقسوم عليه – مضرب- ك.م.م | |
|
چهارم |
31-37 |
رسم ا- توان- ساده كردن عبارت هاي توان دار | |
|
آبان |
اول |
38-44 |
كسر متعارفي- عدد مخلوط- تساوي كسرها |
|
دوم |
45-49 |
جمع و تفريق كسرها – ضرب كسرها | |
|
سوم |
50-56 |
آموزش راهبرد حل مسئله ساده تر- تقسيم كسرها- رسم 2 | |
|
چهارم |
57-61 |
نسبت و تناسب ( مقدار هاي متناسب- طرح يك مسئله) | |
|
آذر |
اول |
62-69 |
ادامهي نسبت و تناسب ( تسهيم به نسبت)- يادآوري( مفاهيم اعداد اعشاري) |
|
دوم |
70-73 |
آموزش راهبزد الگو يابي- ضرب عددهاي اعشاري | |
|
سوم |
74-81 |
يادآوري انواع خط- نيم خط و پاره خط- انطباق و تساوي دو شكل- مقايسهي دو پاره خط | |
|
چهارم |
82-89 |
اندازهي يك پاره خط- رسم 3 حل مسئله( راهبرد جدول نظام دار)- نامگذاري زاويه | |
|
دي |
اول |
90-97 |
مقايسهي دو زاويه- انواع زاويه و واحد آن- دو زاويهي متمم و مكمل |
|
دوم |
98-110 |
دايره و رسم مثلث- رسم 4- تمرين دورهاي 1 | |
|
سوم |
------- |
امتحانات نوبت اول | |
|
چهارم |
111-118 |
تقسيم اعشاري- يادآوري تقسيم- تقسيم عددهاي اعشاري- آموزش راهبرد حدس و آزمايش | |
|
بهمن |
اول |
119-124 |
پيشروي در تقسيم- تعيين خارج قسمت و باقي مانده- رسم 5 |
|
دوم |
125-135 |
عدد صحيح- قرينهي عددهاي صحيح- بردار صحيح | |
|
سوم |
136-143 |
جمع عددهاي صحيح | |
|
چهارم |
144-150 |
ادامه جمع عددهاي صحيح- تفريق عددهاي صحيح | |
|
اسفند |
اول |
151-156 |
تفريق عددهخاي صحيح- رسم 6 |
|
دوم |
157-160 |
مقدار تقريبي- روش قطع كردن | |
|
سوم |
161-165 |
مقدار تقريبي روش گرد كردن- تعريف آمار- جدول داده ها | |
|
چهارم |
166-170 |
رسم نمودارهاي آماري و تمرينات آمار | |
|
فروردين |
اول |
------- |
----------------------------------------------- |
|
دوم |
------- |
----------------------------------------------- | |
|
سوم |
171-175 |
تساوي مثلث ها | |
|
چهارم |
176-178 |
تساوي مثلث ها | |
|
ارديبهشت |
اول |
179-183 |
عمود و عمود منصف |
|
دوم |
184-186 |
ترسيم هاي هندسي | |
|
سوم |
187-191 |
ادامه ترسيم هاي هندسي- رسم 7 | |
|
چهارم |
192-198 |
تمرين دورهاي 2 و مرور مطالب | |
|
خرداد |
اول |
------- |
امتحانات نوبت دوم |
|
دوم |
------- |
امتحانات نوبت دوم | |
|
سوم |
------- |
امتحانات نوبت دوم | |
|
چهارم |
------- |
امتحانات نوبت دوم |
